如图,已知过点a(1,0)的抛物线y=1/4x^2-1/4(b+1)x+b/4(b是实数)与x轴交于点B,与y轴交于点C,以BC为斜边作等腰Rt三角形BCP.(1)当b=4时,点B的坐标为,点C的坐标为;(2)若b>2,如图,请你探索在第一象限内是

Question

如图,已知过点a(1,0)的抛物线y=1/4x^2-1/4(b+1)x +b/4(b是实数)与x轴交于点B,与y轴交于点C,以BC为斜边作等腰Rt三角形BCP.(1)当b=4时,点B的坐标为___,点C的坐标为___;
(2)若b>2,如图,请你探索在第一象限内是否存在点P,使四边形PCOB的面积等于4?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)当b为何值时,点P恰好在抛物线的对称轴上?(直接写出答案即可)

Answer 1

（1）令y=0,即y=
1
4
x2-
1
4
（b+1）x+
b
4
=0,
解得：x=1或b,
∵b是实数且b＞2,点A位于点B的左侧,
∴点B的坐标为（b,0）,
令x=0,
解得：y=
b
4
,
∴点C的坐标为（0,
b
4
）,
故答案为：（b,0）,（0,
b
4
）；
（2）存在,
假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x,y）,连接OP．
则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=
1
2
•
b
4
•x+
1
2
•b•y=2b,
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y．
由
x=yx+4y=16
解得
x=165y=165
由△PEC≌△PDB得EC=DB,即
16
5
-
b
4
=b-
16
5
,
解得b=
128
25
＞2符合题意．
∴P的坐标为（
16
5
,
16
5
）；
（3）假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB＞∠AOQ,∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴．
∵b＞2,
∴AB＞OA,
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°,
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=
b
4
．
由AQ2=OA•AB得：（
b
4
）2=b-1．
解得：b=8±4
3
．
∵b＞2,
∴b=8+4
3
．
∴点Q的坐标是（1,2+
3
）．
（II）当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,
∴
OQ
CO
=
AQ
QO
,即OQ2=OC•AQ．
又OQ2=OA•OB,
∴OC•AQ=OA•OB．即
b
4
•AQ=1×b．
解得：AQ=4,此时b=17＞2符合题意,
∴点Q的坐标是（1,4）．
∴综上可知,存在点Q（1,2+
3 ）或Q（1,4）,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均