球的方程:x^2+y^2+z^2=9,求∫(闭合)x^2dx我的疑问:传统的对称法我知道了,我自己想了个方法做,可答案不对,请各位帮我看看,1.被积函数只与点的x坐标有关系2.找到所有求表面x坐标相同的点,可以发

Question

球的方程:x^2+y^2+z^2=9,求∫(闭合)x^2dx
我的疑问:传统的对称法我知道了,我自己想了个方法做,可答案不对,请各位帮我看看,
1.被积函数只与点的x坐标有关系
2.找到所有求表面x坐标相同的点,可以发现它们组成了平行于zoy面的圆圈
3.求出圆圈的半径是r=根号下9-x^2
4.然后求出圆的周长是2π根下9-x^2,我想这个周长就表示了该圆圈上点的个数,而且每个点上要求的量都是x^2,即某个圈上的要求的辆就是x^2*2π根下9-x^2.
5.最后求∫(-3,3)(x^2*2π根下9-x^2)dx
∫(闭合)x^2dx写错了,是∫(闭合)x^2ds

Answer 1

很明显错了.上面也没有一个说的靠点边.
你的想法是好的,但是处理出错了,你的做法实际上是将球用无限个平行于ZOY面的平面分割成无限个薄圆台,整个积分是对球面取得,无论你怎样换序,最后的积分还是必须取遍整个球面.而在这里分割后我们可以先对薄圆台的侧面积分然后沿X方向将所有关于圆台的积分相加也,你的错误 就是在对薄圆台侧面求积分出错了,由于在薄圆台的侧面上X值相同（近视的）所有 dS的和应该是薄圆台的侧面积（你取的是薄圆台侧面周长,少了一维）确切说是少乘以圆台侧面的宽,算下知道宽是3除以根号9- x^2
将你的被积函数乘以这个宽后是 6π乘以 x^2 然后对x 从-3到3积分得正确结果108π