在平面直角坐标系中，已知函数y1=2x和函数y2=-x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求在平面直角坐标系中，已知函数y1=2x和函数y2=-x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中

题目详情

在平面直角坐标系中，已知函数y1=2x和函数y2=-x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．（1）求
在平面直角坐标系中，已知函数y₁=2x和函数y₂=-x+6，不论x取何值，y₀都取y₁与y₂二者之中的较小值．
（1）求y₀关于x的函数关系式；
（2）现有二次函数y=x²-8x+c，若函数y₀和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y₀和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

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答案和解析

（1）联立

y＝2x

y＝?x+6

，
解得

x＝2

y＝4

，
所以，y₀=

2x(x≤2)

?x+6(x≥2)

；
（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）

（2）∵对函数y₀，当y₀随x的增大而减小，
∴y₀=-x+6（x≥2），
又∵函数y的对称轴为直线x=4，且a=1＞0，
∴当x≤4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x≤4；

（3）①若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，
则x²-8x+c=-x+6，
即x²-7x+（c-6）=0，
△=73-4c=0，
解得c=18

，
此时x₁=x₂=

，符合2＜x＜4，
所以，c=18

，
②若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6有两个交点，其中一个在2≤x≤4范围内，另一个交点在2≤x≤4范围外，
则△=73-4c＞0，
解得c＜18

，
方法一：对于y₀=-x+6，当x=2时，y₀=4，
当x=4时，y₀=2，
又∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
若y=x²-8x+c与y₀=-x+6在2＜x＜4内有一个交点，
则当x=2时，y＞y₀，当x=4时，y＜y₀，
即当x=2时，y≥4；当x=4，时y≤2，
也就是