如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点B，连结OB．将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A，使OA=2OB，且点A的坐标为（4，2）．（1）求过点B的双曲线的函数关系式；（2）根据反比例函

Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点B，连结OB．将OB绕点O按顺时针方向旋转90°并延长至A，使OA=2OB，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求过点B的双曲线的函数关系式；
（2）根据反比例函数的图象，指出当x＜-1时，y的取值范围；
（3）连接AB，在该双曲线上是否存在一点P，使得S_△ABP=S_△ABO？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，
∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM=∠NBO，
∴△AOM∽△OBN．
∵OA=2OB，
∴(BN)/(OM)=(ON)/(AM)=(1)/(2)，
∵点A的坐标为（4，2），
∴BN=2，ON=1，
∴B（-1，2）．
∴双曲线的函数关系式为y=-(2)/(x)；

（2）由函数图象可知，当x＜-1时，0＜y＜2；

（3）存在．
∵y_A=y_B，
∴AB∥x轴，
∴S_△ABP=S_△ABO=5，
∴当点P在AB的下方时，点P恰好在x轴上，不合题意舍去；
当点P在x轴上方时，点P在第二象限，得(1)/(2)AB•（y_P-2）=5，即(1)/(2)×5×（y_P-2）=5，解得y_P=4，
∴点P坐标为（-(1)/(2)，4）．