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如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.(1)求N的函数表达式;(2)设点P
题目详情
如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
▼优质解答
答案和解析
(1) 二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=-x2+1,此时顶点坐标(0,1),
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为(2,9),
故N的函数表达式y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)∵A(-1,0),B(1,0),
∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2•PO2+2,
∴当PO最大时PA2+PB2最大.如图,延长OC与 O交于点P,此时OP最大,
∴OP的最大值=OC+PC=
+1,
∴PA2+PB2最大值=2(
+1)2+2=38+4
.
(3)M与N所围成封闭图形如图所示,
由图象可知,M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为25个.
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为(2,9),
故N的函数表达式y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)∵A(-1,0),B(1,0),
∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2=2•PO2+2,
∴当PO最大时PA2+PB2最大.如图,延长OC与 O交于点P,此时OP最大,
∴OP的最大值=OC+PC=
17 |
∴PA2+PB2最大值=2(
17 |
17 |
(3)M与N所围成封闭图形如图所示,
由图象可知,M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为25个.
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