如图所示的平面直角坐标系xoy，在第I、Ⅲ象限内有平行于y轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向内的匀强磁场．一质量为m，电荷量为g的带电的粒子，

Question

如图所示的平面直角坐标系xoy，在第I、Ⅲ象限内有平行于y轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向内的匀强磁场．一质量为m，电荷量为g的带电的粒子，从y轴上的M（0，d）点，以大小为v₀的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴的N（(2√(3))/(3)d，0）点进入第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y轴进入第Ⅲ象限，最终粒子从x轴上的P点离开．不计粒子所受到的重力．求：
（1）匀强电场的电场强度E和磁场的磁感应强度B大小；
（2）粒子运动到P点的速度大小；
（3）粒子从M点运动到P点的时间．

Answer 1

（1）设粒子在第一象限内运动的时间为t₁，粒子在N点时粒子速度大小为v₁，方向与x轴正方间夹角为θ．则：x=v₀t₁=(2√(3)d)/(3)
y=(1)/(2)at₁²=d
a=(qE)/(m)
tanθ=(vy)/(v0)=(at1)/(v0)
v₁=(v0)/(cosθ)
联立以上各式可得：tanθ=√(3)   θ=(π)/(3)  v₁=2v₀    E=(3mv02)/(2qd)
粒子在第四象限内做匀速圆周运动，半径为：R=(ON)/(sinθ)=(4)/(3)d
qv₁B=m(v12)/(R)
得：B=(mv1)/(qR)=(3mv0)/(2qd)
（2）由粒子从M点运动到P点的过程，列动能定理可知：
Eqd+Eq（R+Rcosθ）=(1)/(2)mv_p²-(1)/(2)mv₀²
v_p=√(10)v₀
（3）粒子在第一象限内运动时间：t₁=((2√(3)d)/(3))/(v0)=(2√(3)d)/(3v0)
粒子在第四象限内运动时：T=(2πR)/(v1)=(4πd)/(3v0)
t₂=(π−θ)/(2π)T=(4πd)/(9v0)
粒子在第三象限内运动时：R+Rcosθ=(1)/(2)at₃²
得：t₃=(2√(6)d)/(3v0)
则粒子从M点运动P点的时间：t=t₁+t₂+t₃=(6√(3)+6√(6)+4π)/(9v0)d
答：（1）匀强电场的电场强度E=(3mv02)/(2qd)，磁场的磁感应强度B大小B=(3mv0)/(2qd)；
（2）粒子运动到P点的速度大小√(10)v₀；
（3）粒子从M点运动到P点的时间t=(6√(3)+6√(6)+4π)/(9v0)d．