如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周

Question

如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把点A（0，4）代入上式得：a=(4)/(5)，
∴y=(4)/(5)（x-1）（x-5）=(4)/(5)x²-(24)/(5)x+4=(4)/(5)（x-3）²-(16)/(5)，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为（3，(8)/(5)）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得

4＝6k+b

0＝k+b

，
解得

k＝(4)/(5)

b＝−(4)/(5)

，
∴y=(4)/(5)x-(4)/(5)，
∵点P的横坐标为3，
∴y=(4)/(5)×3-(4)/(5)=(8)/(5)，
∴P（3，(8)/(5)）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，(4)/(5)t²-(24)/(5)t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-(4)/(5)x+4，
把x=t代入得：y=-(4)/(5)t+4，则G（t，-(4)/(5)t+4），
此时：NG=-(4)/(5)t+4-（(4)/(5)t²-(24)/(5)t+4）=-(4)/(5)t²+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S_△ACN=S_△ANG+S_△CGN=(1)/(2)AM×NG+(1)/(2)NG×CF=(1)/(2)NG•OC=(1)/(2)×（-(4)/(5)t²+4t）×5=-2t²+10t=-2（t-(5)/(2)）²+(25)/(2)，
∴当t=(5)/(2)时，△CAN面积的最大值为(25)/(2)，
由t=(5)/(2)，得：y=(4)/(5)t²-(24)/(5)t+4=-3，
∴N（(5)/(2)，-3）．