如图所示，在上端开口的圆柱形容器中盛有适量小，水中放置一圆柱体，圆柱体高H=0.6m，密度ρ柱=3.0×103kg/m3，其上表面距水面L=1m，容器与圆柱体的横截面积分别为S面=3×10-2m2，和S柱=1×10-2m2

Question

如图所示，在上端开口的圆柱形容器中盛有适量小，水中放置一圆柱体，圆柱体高H=0.6m，密度ρ_柱=3.0×10³kg/m³，其上表面距水面L=1m，容器与圆柱体的横截面积分别为S_面=3×10^-2m²，和S_柱=1×10^-2m²，现将绳以v=0.1m/s的速度竖直向上匀速提升圆柱体，直至离开水面，已知水的密度ρ_水=1.0×10³kg/m³，g取10N/kg，水的阻力忽略不计．

（1）在圆柱体从开始运动到上表面刚露出水面过程中，求绳拉力对圆柱体做的功；
（2）在圆柱体上表面刚露出水面到其底面离开水面过程中，求绳的拉力随时间变化关系式；
（3）在给出的坐标纸上画出（2）中绳的拉力的功率P随时间变化的图象．

Answer 1

（1）圆柱体的体积：
V_柱=S_柱H=1×10^-2m²×0.6m=6×10^-3m³，
由ρ=(m)/(V)可得，圆柱体的质量：
m_柱=ρ_柱V_柱=3.0×10³m³×6×10^-3m³=18kg，
圆柱体的重力：
G=m_柱g=18kg×10N/kg=180N，
圆柱体完全浸没在水中，排开水的体积：
V_排=V_柱=6×10^-3m³，
受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6×10^-3m³=60N，
则绳拉力对圆柱体的拉力：
F_拉=G-F_浮=180N-60N=120N，
绳拉力对圆柱体做的功：
W=F_拉L=120N×1m=120J；
（2）从圆柱体上表面刚露出水面时开始计时，
由v=(s)/(t)可得，在时间为t时，圆柱体重物上升的高度：
h=vt=0.1m/s×t，
设水面下降的高度为h₀，则
h₀（S_面-S_柱）=hS_柱，即h₀（3×10^-2kg/m²-1×10^-2kg/m²）=0.1m/s×t×1×10^-2kg/m²，
解答，h₀=0.05m/s×t，
所以，圆柱体排开水的体积：
V_排′=H•S_柱-（h+h₀）•S_柱
=6×10^-3m³-（0.1m/s×t+0.05m/s×t）×1×10^-2kg/m²
=6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t，
圆柱体受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_排′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×[6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t]=60N-15N/s×t，
绳的拉力：
F_拉′=G-F_浮′=180N-（60N-15N/s×t）=120N+15N/s×t，
（3）当圆柱体离开水面时，排开水的体积为零，
则V_排′=H•S_柱-（h+h₀）•S_柱=0，即6×10^-3m³-1.5×10^-3（m³/s）×t=0，
解得：t=4s，
在0～4s内，由P=(W)/(t)=(Fs)/(t)=Fv可得，拉力的功率：
P=F_拉′v=（120N+15N/s×t）×0.1m/s=12W+1.5W/s×t，
4s以后，拉力的功率：
P=F_拉″v=Gv=180N×0.1m/s=18W，
绳的拉力的功率P随时间变化的图象，如下图所示：

答：（1）在圆柱体从开始运动到上表面刚露出水面过程中，绳拉力对圆柱体做的功为120J；
（2）在圆柱体上表面刚露出水面到其底面离开水面过程中，绳的拉力随时间变化关系式为F_拉=120N+15N/s×t；
（3）绳的拉力的功率P随时间变化的图象如上图所示．