如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球乙在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球甲自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，（OA＜＜R）

Question

如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球乙在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球甲自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，（OA＜＜R）求：
（1）小球自由下落的最小高度；
（2）小球自由下落的可能高度．

Answer 1

设甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达O点的时间为：t_甲=√((2h)/(g))
乙球近似看做单摆，其周期：T＝2π√((R)/(g))
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达O点的时间为：
t乙＝(T)/(4)+n(T)/(2)＝(2n+1)/(2)•π√((R)/(g))，n=0，1，2，…
由于甲、乙在O点相遇，故有：t_甲=t_乙
解得：h=((2n+1)2)/(8)π2R(n＝0，1，2，…)
当n=0时，甲球自由下落的高度最小，最小为：h0＝(π2R)/(8)
答：（1）小球自由下落的最小高度是(π2R)/(8)；
（2）小球自由下落的可能高度是((2n+1)2)/(8)π2R(n＝0，1，2，…)．