如何证明x的x分之一次方的最大值怎么求x^(1/x)的最大值,x为正整数!感激不尽

Question

如何证明x的x分之一次方的最大值
怎么求x^(1/x)的最大值,x为正整数!感激不尽

Answer 1

y=x^(1/x)
=(e^lnx)^(1/x)
=e^(lnx/x)
变成了复合函数
外层是单调增
内部f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x²
定义域是x>0
令f'(x)>=0
1-lnx>=0
x<=e
∴0内部函数增区间是(0,e]减区间是[e,+∞)
∴整个函数的增区间是(0,e]减区间是[e,+∞)
x=e时,有最大值
最大值=e^(1/e)
此题是x是正整数
离e最近的正整数是3
∴最大值=3^(1/3)