正整数和有理数是一样多吗?无理数比无理数多吗?如何证明结果满意再赋分

Question

正整数和有理数是一样多吗?无理数比无理数多吗?
如何证明
结果满意再赋分

Answer 1

答案是对的.不过你首先要知道如何定义多和少,否则就没意义了.
一般来讲把集合的元素个数称为集合的势.
定义：对于集合A和B,如果A和B之间存在双射,那么称A和B等势(即元素个数一样多).
定义：对于集合A和B,如果A和B的某个子集存在双射,但A和B之间不存
在双射,那么称A的势小于B的势(即A比B的元素少).
定义：和自然数集等势的集合称为可列集,包含可列子集但不和自然数集等势的集合称为不可列集.
性质1：
等势是等价关系.
性质2：(Bernstein定理)
A和B的子集等势,B和A的子集等势,那么A和B等势.
性质3：(Zermelo定理,这个结论等价于选择公理)
A和B的势之间只有大于,小于,等于3种关系.
性质4：(Cantor定理)
不存在具有最大势的集合.
性质2非常好用,但是不太容易证明,我们只用性质1.
定理：有理数集和正整数集等势,即有理数集可列.
证明：首先容易证明正整数集和整数集等势,构造序列{0,1,-1,2,-2,3,-3,...}即可.故下面只需要证明正整数集和正有理数集等势.
对任何正有理数x,存在唯一的正整数对(p,q)满足p和q互质且x=p/q.所以所有的正有理数都在下面的二维表里：
(1,1),(1,2),(1,3),...
(2,1),(2,3),(2,5),...
(3,1),(3,2),(3,4),...
.
把正整数按下述方式排成二维表
1,2,4,7,...
3,5,8,...
6,9,...
10,...
...
于是这样构造了正整数集和正有理数集之间的双射.
定理：实数集的势大于正整数集的势,即实数集不可列.
证明：假定实数集可列,那么所有实数可以排成序列{x1,x2,x3,...}.
任取闭区间[a1,b1],a1