用初等数论的方法去证明lg2是无理数

Question

用初等数论的方法去证明lg2是无理数

Answer 1

证明：假设lg2不是无理数,则存在互质的正整数m,n,使得
lg2=m/n.
所以 2=10^(m/n).
所以 2^n=10^m.
因为无论m,n取任意正整数,2^n的尾数一定不为0,10^m的尾数一定为0,
所以 2^n不等于10^m,与2^n=10^m矛盾.
所以假设不成立,即lg2是无理数.
= = = = = = = = =
设N为大于1的正整数,若lgN不是整数,则lgN是无理数.
(1)若N尾数不为0,按以上方法证明.
如:lg2,lg3,lg4,...lg9都是无理数.
(2)若N尾数为0,则lgN=lgM+L,L为正整数,M尾数不为0.
如:lg90=lg9+1,lg2300=lg23+2,...