已知abc为正整数,且（根号3）a+b/（根号3）b+c为有理数,证明a+b+c/a+b+c为整数!谢谢了!

Question

已知abc为正整数,且（根号3）a+b/（根号3）b+c为有理数,证明a+b+c/a+b+c为整数! 谢谢了!

Answer 1

设(√3a+b)/(√3b+c)=k(k是有理数) ∴√3a+b=√3kb+kc,√3(a-kb)+(b-kc)=0 ∵k是有理数,abc是正整数 ∴a-kb,b-kc是有理数 要使√3(a-kb)+(b-kc)=0成立,则a=kb,b=kc ∴ac=b,即b=√ac (a+b+c)/(a+b+c)=(a+ac+c)/(a+√ac+c)=[(a+2ac+c)-ac]/(a+√ac+c) =[(a+c)-(√ac)]/(a+√ac+c)=[(a+c+√ac)(a+c-√ac)]/(a+√ac+c) =a+c-√ac=a+c-b是整数