求最小正整数n,使得任何n个无理数中,总有3个数,其中每两个数之和仍都为无理数.

Question

求最小正整数n,使得任何n个无理数中,总有3个数,其中每两个数之和仍都为无理数.

Answer 1

最小正整数是5
先举例后证明
像1+√2,1-√2,2+√2,2-√2,3-√2中,
1-√2,2-√2,3-√2的每两个数之和仍都为无理数
有如下结论:
在3个无理数a,b,c中,
如果a与b,c的和都是有理数,则b,c的和是无理数.
证明:设a+b=q1,a+c=q2,q1,q2都是有理数,则2a+b+c=q1+q2,
b+c=q1+Q2-2a必为无理数.
同样可以证明,
在4个无理数a,b,c,d中,如果a与b,c,d的和都是有理数,则b,c,d两两的和是无理数.
设有5个不同的无理数a,b,c,d,e
(1)如果a+b,a+c,a+d是有理数,则有3个数b,c,d,
其中每两个数之和为无理数
(2)如果a+b,c+d是有理数,且a+c也为有理数,
则b+d=(a+b)+(c+d)-(a+c)也为有理数,
而b+c,a+d分别为无理数
如果a+e是有理数,
则由a+b,a+c,a+e是有理数而得b,c,e两两之和为无理数
同样,如果b+e,或c+e,或d+e为有理数,
总能找到3个数,两两之和为无理数