无理数可以表现为有理数的极限?上课没弄懂,高数课老师多讲的东西,似乎是说无理数和有理数都可以表现为有理数的极限,哪位懂的详细解释下

Question

无理数可以表现为有理数的极限?
上课没弄懂,高数课老师多讲的东西,似乎是说无理数和有理数都可以表现为有理数的极限,哪位懂的详细解释下

Answer 1

关于如何在有理数域的基础上进行扩充得到实数域,你可以找本数学专业的书详细读一下就明白了. 我这里想简单直观地说明一下. 有限个有理数相加,结果是肯定有理数； 无限个有理数相加,结果不一定是有理数； 但是根据极限概念,很多无限个有理数相加可以看作级数收敛,为了表示无限个有理数相加的结果,就定义了实数和无理数； 其中无限个有理数相加结果有的是有理数,但很多不是有理数的,就叫无理数； 所谓有理数序列的极限是无理数,就是说无理数其实是无法确切表示的,只能用有理数数列去不断逼近它,有理数列逼近的极限就认作是那个无理数. 例如 有数列｛an=(1+1/n)^n｝当n趋向无穷大时,极限为e=2.718281828459045.是无理数 有理数无限和：1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+.=e=2.718281828459045.