嗯嗯,从o到正无穷不定积分,∫dx/(1+x)(1+x^2)多少?

Question

嗯嗯,从o到正无穷不定积分,∫dx/(1+x)(1+x^2)多少?

Answer 1

注：该式子为有理函数的积分
1/(1+x)(1+x^2)=A/(1+x)+(BX+C)/(1+x^2)=(A(1+x^2)+(BX+C)(1+X))/(1+X)(1+X^2)
即(A+B)X^2+(B+C)X+A+C=1. A+B=0.B+C=0.A+C=1.解得A=1/2.B=-1/2.C=1/2

∵有∫dx/(1+x)(1+x^2)
=∫(1/(2(1+x))+(-x+1)/(2(1+x^2)) ) dx
=1/2*∫(1/((1+x))+(-x+1)/((1+x^2)) ) dx
=1/2*∫(1/(1+x)dx+∫(-x+1)/(1+x^2) )dx
=1/2*∫(1/(1+x)dx-1/2*1/2∫1/(1+x^2) )dx^2
=1/2*∫(1/(1+x)d(x+1)-1/4∫1/(1+x^2) )d（x^2+1）
=1/2ln|x+1|-1/4ln(1+x^2)、
=1/4*2ln|x+1|-1/4ln(1+x^2)
=1/4ln(|x+1|^2)-1/4ln(1+x^2)
=1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))
∴∫(0积到正无穷)dx/(1+x)(1+x^2)
=lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))-1/4ln((1+0)^2 /(1+0^2))
=lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))-1/4ln1
=lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))
又∵lim(x→+∞)(1+x)^2 /(1+x^2)
为∞/∞型.用洛必达求导
lim(x→+∞)(1+x)^2 /(1+x^2)=lim(x→+∞)2(1+x) /2x=lim(x→+∞)(1/x +1)=1
∴原式=lim(x→+∞)1/4ln((1+x)^2 /(1+x^2))=1/4ln1=0