当x→0时，下面四个无穷小量中，阶数最高的是（）A．1+sin2x−1B．tanx-sinxC．4x2+5x3-x5D．e−2x2-cos2x

Question

当x→0时，下面四个无穷小量中，阶数最高的是（　　）

A．√(1+sin2x)−1
B．tanx-sinx
C．4x²+5x³-x⁵
D．e−2x2-cos2x

Answer 1

①选项A．∵当x→0时，√(1+sin2x)−1～(1)/(2)sin2x～(1)/(2)x2
∴当x→0时，√(1+sin2x)−1的阶数为2；
②选项B．∵当x→0时，tanx-sinx=tanx（1-cosx）～(1)/(2)x3
∴当x→0时，tanx-sinx的阶数是3．
③选项C．∵当x→0时，4x²+5x³-x⁵～4x²
∴当x→0时，4x²+5x³-x⁵的阶数是2
④选项D．∵当x→0时，e−2x2＝1+(−2x2)/(1!)+((−2x2)2)/(2!)+o(x4)，cos2x＝1−(2x2)/(2!)+((2x)4)/(4!)+o(x4)
∴e−2x2−cos2x＝(11)/(6)x4+o(x4)
∴当x→0时，e−2x2−cos2x是4阶无穷小
故四个选项中，阶数最高的是D
故选：D．