当n＞3,证明Sn的中心的阶为1、抽象代数的、

Question

当n＞3,证明Sn的中心的阶为1、抽象代数的、

Answer 1

Sn的元素可表示为不交的轮换的乘积(例如: (1746)(35)),
且在不计乘积顺序和轮换起点的意义下表示法唯一(上面的例子与(53)(6174)是一样的).
对Sn中任意一个非单位元的元素σ, 设其轮换表达式为σ = (ab...c)(de...f)...(xy...z).
(1) 若其中含有不小于3元的轮换, 设为(pq...r), 取τ = (pq), 可知τ^(-1) = τ.
可验证τ与不含p, q的轮换可交换, 同时τ(pq...r)τ = (qp...r) ≠ (pq...r), 即(pq...r)τ ≠ τ(pq...r).
于是τ与σ不可交换, σ不属于中心.
(2) 若其中不含2元以上的轮换, 则由n > 3, 轮换的个数至少有2个(包括1元轮换).
且不全为1元轮换, 否则σ是单位元. 因此σ的轮换表达式含有形如(pq)(r...)的部分, 取τ = (pr).
可验证τ与不含p, r的轮换可交换, 同时τ(pq)(r...)τ = (rq)(p...) ≠ (pq)(r...), 即(pq)(r...)τ ≠ τ(pq)(r...).
于是τ与σ不可交换, σ不属于中心.
综合两种情况, Sn的中心只有单位元, 阶数为1.