已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．

Question

已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．

Answer 1

设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得(r)/(a)＝(h−x)/(h)，
∴x=(ah−rh)/(a)＝((a−r)h)/(a)，
∴圆柱的体积为V（r）=πr2x＝πr2•((a−r))/(a)h，(0＜r＜a)，
即V（r）=(πh)/(a)(ar2−r3)，
则V'（r）=(πh)/(a)(2ar−3r2)，
由V'（r）=(πh)/(a)(2ar−3r2)=0，得r=(2)/(3)a．
列表如下：

r	（0，(2)/(3)a）	(2)/(3)a．	（(2)/(3)a，a）
V'（r）	+	0	-
V（r）	递增	极大值	递减

∴圆柱的最大体积为V((2a)/(3))＝(4)/(27)πha2，此时r=(2)/(3)a，x=(1)/(3)h．