如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

Question

如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．

Answer 1

∵直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y=0，可得-2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，

∴(OB)/(OC)=(OC)/(CP)，即(4)/(2)=(2)/(CP)，解得CP=1，
∴P（2，-1），
设过点P的双曲线解析式y=(k)/(x)，把P点代入解得k=-2，
∴过点P的双曲线解析式y=-(2)/(x)，
②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，

在△OCP和△COB中，

∠OBC=∠CPO

∠COB=∠OCP

OC=CO

∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，-4）
设过点P的双曲线解析式y=(k)/(x)，把P点代入得-4=(k)/(2)，解得k=-8，
∴过点P的双曲线解析式y=(-8)/(x)．
综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=-(2)/(x)或y=(-8)/(x)．