装信封问题解答,求详细过程

Question

装信封问题解答,求详细过程

Answer 1

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸.把错装的总数为记作 f(n) .假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有 f(n-2) 种错装法.
（2）b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把（除a之外的）n-1份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……,显然这时装错的方法有 f(n-1) 种.
总之在a装入B的错误之下,共有错装法 f(n-2)+f(n-1) 种.a装入C,装入D……的n－2种错误之下,同样都有 f(n-2)+f(n-1) 种错装法,因此 :
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式,令n＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题.
f(1)= 0,f (2)= 1,f (3)= 2,f (4)= 9,f (5)=44.
答案是44种.一般地,当n＞2时
f(n)= n!(1/1!- 1/2!+ 1/3!+…+ (-1)^(n-1)/n!)