一道积分求面积题.求曲线Y=根号下(2X-x^2),与直线y=（1/根号下3）x所围成的平面图形面积

Question

一道积分求面积题.
求曲线Y=根号下(2X-x^2) ,与直线y=（1/根号下3）x所围成的平面图形面积

Answer 1

这题利用常规的XY代入直接算比较麻烦,所以用极坐标代换.因为直线Y＝（1/√3）X,所以tanθ为1/√3,所以这条直线与X轴夹角为π/6.将Y＝√（2X－X）两边平方即可得一个圆,圆心在（1,0）,半径为1,所以画出来是一个Y≧0的半圆,经过由圆心引一条垂直于极坐标r的线,利用直角三角形可以算出极坐标r的范围.所以得出来：0≦r≦2cosθ,
（1/3）π≦θ≦（1/2）π,
所以面积S＝∫∫dxdy＝∫（上是（1/2）π,下是（1/3）π）dθ∫（上是2cosθ,下是0）rdr＝∫（cos2θ＋1）dθ最后结果如果没算错,那就是π/3－√3/4