已知X，Y服从相同的分布X～−1010.250.50.25，若P（|X|=|Y|）=0．（1）求出（X，Y）的联合分布律；（2）求出X，Y的相关系数；（3）讨论X，Y的相关性和独立性．

Question

已知X，Y服从相同的分布X～

−1	0	1
0.25	0.5	0.25

，若P（|X|=|Y|）=0．
（1）求出（X，Y）的联合分布律；
（2）求出X，Y的相关系数；
（3）讨论X，Y的相关性和独立性．

Answer 1

（1）∵P（|X|=|Y|）=0
∴P（-1，-1）=P（-1，1）=P（1，-1）=P（1，1）=P（0，0）=0
而X，Y服从相同的分布，且X～

−1	0	1
0.25	0.5	0.25

∴可得，

Y|X	−1	0	1	Y的边际分布律
−1	0		0	0.25
0		0		0.5
1	0		0	0.25
X的边际分布律	0.25	0.5	0.25	1

∴由P（X=-1）=P（-1，-1）+P（-1，0）+P（-1，1）=0+P（-1，0）+0=0.25，即P（-1，0）=0.25
同理可得：P（0，-1）=P（0，1）=P（1，0）=0.25
∴（X，Y）的联合分布律为

Y|X	−1	0	1	Y的边际分布律
−1	0	0.25	0	0.25
0	0.25	0	0.25	0.5
1	0	0.25	0	0.25
X的边际分布律	0.25	0.5	0.25	1

（2）∵EX=-1•0.25+0•0.5+1•0.25=0，同理EY=0，EXY=0，
∴Cov（X，Y）=E（X-EX）（Y-EY）=EXY=0
DX=EX²-（EX）²=（-1）²•0.25+0²•0.5+1²•0.25=0.5，
同理DY=0.5，
∴ρXY＝(Cov(X，Y))/(√(DX)√(DY))＝0
（3）∵ρ_XY=0
∴X，Y不相关．
由（X，Y）的联合分布律知，P_i•×P_•j≠P_ij
∴X，Y不相互独立．