求2道初中关于四点共圆的题目（全国联赛难度）解题方法要巧妙点!谢谢

Question

求2道初中关于四点共圆的题目（全国联赛难度）解题方法要巧妙点!谢谢

Answer 1

设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4,△A1A2A3的垂心,求证：H1,H2,H3,H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置．
利用复数证明：
以O为原点,任意方向为实轴方向建立复平面,A1A2A3A4四点对应的复数位a1a2a3a4,利用垂心的公式（H=A+B+C）,得：
H1=a1+a2+a3,H2=a3+a4+a1,...
考虑a=a1+a2+a3+a4此复数a所对应的点,有：
abs(Hi-a)=abs(ai)=R,(i=1,2,3,4),其中R为圆O的半径,abs(z)表示i的模.
从而,H1H2H3H4落在以a所对应的点为圆心,R为半径的圆上.分析：连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由△A2A3A4知 =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4； 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.易证A2H1‖A1A2,于是,A2H1A1H2,故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.