a1约等于根号2,令a2=1+1/(1+a1)1.证明:根号2介于a1和a2之间2.a1和a2中哪个更接近于根号2?请说明理由

Question

a1约等于根号2,令a2=1+1/(1+a1)
1.证明:根号2介于a1和a2之间
2.a1和a2中哪个更接近于根号2?请说明理由

Answer 1

1+1/(1+√2)=1＋√2－1＝√2
f(x)=1+1/(1+x)是减函数
f(√2)=√2
若a1a2=f(a1)>f(√2)=√2
若a1>√2
a2=f(a1)根号2介于a1和a2之间
a1=x
a1-√2=x-√2
a2=1+1/(1+x)
√2-a2=(√2-1)-1/(1+x)
等价
(√2-1)-1/(1+x)<=x-√2
等价
0<=(x-2√2＋1)(1+x)+1
等价
(x-√2)(x+√2/2)>=0
当a1=x>√2时
a1-√2>√2-a2
|a1-√2|>|√2-a2 |
当a1=xa1-√2|a1-√2|>|√2-a2 |
a2与√2接近!