什么时候可以把一个角的正弦值约等于它的正切值?比如这道题里,为什么可以把正弦值约等于它的正切值?有没有规定,什么情况下,角度为多小的时候可以用约等于?

Question

什么时候可以把一个角的正弦值约等于它的正切值?
比如这道题里,为什么可以把正弦值约等于它的正切值?
有没有规定,什么情况下,角度为多小的时候可以用约等于?

Answer 1

当角度接近于0时,sin(x)约等于tan(x).该近似可否使用在于答案要求的精度,而精度可以通过泰勒级数来估计：
sin(x) = x - x^3/3!+x^5/5!- .
tan(x) = x +x^3/3 +2*x^5/15 + .
可见当x很小时,sin(x)=tan(x)=x.所以用此方法将sin(x)近似为tan(x)时,若角度足够小,误差一般可估算为x^3*(1/3!+1/3) = x^3/2.
例如当x=0.1时：
sin(x) = 0.09983341664682815230681419841062
tan(x) = 0.10033467208545054505808004578111
误差：tan(x)-sin(x)约为5.0e-4,即0.1^3/2.
在你的题目中,tan(α)=12/125=0.096,于是α=0.0957067081