x趋近于0时(根号下1+x-根号下1-x)/3次根号下1+x-三次根号下1-x

Question

x趋近于0时(根号下1+x-根号下1-x)/3次根号下1+x-三次根号下1-x

Answer 1

x→0
lim (√(1+x)-√(1-x)) / (3^√(1+x)-3^√(1-x))
=lim (√(1+x)-√(1-x))(3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2)
/ (3^√(1+x)-3^√(1-x))(3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2)
=lim (√(1+x)-√(1-x))(3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2) / (1+x-1+x)
=lim (√(1+x)+√(1-x))(√(1+x)-√(1-x))(3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2) / 2x(√(1+x)+√(1-x))
=lim (1+x-1+x)(3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2) / 2x(√(1+x)+√(1-x))
=lim (3^√(1+x)^2+3^√(1+x)3^√(1-x)+3^√(1-x)^2) / (√(1+x)+√(1-x))
=(3^√(1+0)^2+3^√(1+0)3^√(1-0)+3^√(1-0)^2) / (√(1+0)+√(1-0))
=3/2
利用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
以及立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
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