求函数y=sec2x+tanxsec2x−tanx的值域．

Question

求函数y=(sec2x+tanx)/(sec2x−tanx)的值域．

Answer 1

y=(sec2x+tanx)/(sec2x−tanx)=((1)/(cos2x)+(sinx)/(cosx))/((1)/(cos2x)−(sinx)/(cosx))=(1+sinxcosx)/(1−sinxcosx)（函数的定义域是x≠(π)/(2)+kπ，k∈Z），
即y-ysinxcosx=1+sinxcosx，
∴sinxcosx=(y−1)/(y+1)，即sin2x=(2(y−1))/(y+1)，
∵-1≤sin2x≤1，且sin2x≠0，即-1≤(2(y−1))/(y+1)≤1，且y≠1，
整理得：

(2(y−1))/(y+1)≥−1

(2(y−1))/(y+1)≤1

且y≠1，即

(3y−1)/(y+1)≥0

(y−3)/(y+1)≤0

且y≠1，
解得：(1)/(3)≤y≤3，且y≠1，
则函数的值域为[(1)/(3)，1）∪（1，3]．