已知关于X的方城2x^2-(√3+1)X+m=0两根为sinθ,cosθ,θ∈(0,2π).求⒈sinθ/1-cotθ+cosθ/1-tanθ⒉m的值.

Question

已知关于X的方城2x^2-(√3+1)X+m=0 两根为sinθ,cosθ,θ∈(0,2π).求⒈sinθ/1-cotθ+cosθ/1-tanθ ⒉m的值.

Answer 1

下面用a代替θ
sina+cosa=-(√3+1)/2
sina*cosa=m/2
(sina)^2+(cosa)^2=1
所以(sina+cosa)^2-2sinacosa=[-(√3+1)/2]^2-m=1
m=[-(√3+1)/2]^2-1=√3/2
sina/(1-cota)=sina/(1-cosa/sina)=(sina)^2/(cosa-sina)
cosa/(1-tana)=cosa/(1-sina/cosa)=(cosa)^2/(cosa-sina)
所以sina/(1-cota)+cosa/(1-tana)
=[(sina)^2+(cosa)^2]/(cosa-sina)
=1/(cosa-sina)
(cosa-sina)^2=(sina)^2+(cosa)^2-2sinacosa=1-m=1-√3/2=(2-√3)/2
=(4-2√3)/4
=(√3-1)^2/4
所以1/(cosa-sina)^2=[2/(√3-1)]^2=(√3+1)^2
所以sina/(1-cota)+cosa/(1-tana)
=1/(cosa-sina)
=±(√3+1)