求y'''+4y'=4cot2x.请详细一点,我用p替换y',可以求出对应齐次方程的解p＝c1cos2x+c2sin2x.接下来用变动系数法求解时总是积不出来

Question

求y'''+4y'=4cot2x.
请详细一点,我用p替换y',可以求出对应齐次方程的解p＝c1cos2x+c2sin2x.
接下来用变动系数法求解时总是积不出来

Answer 1

常系数变异法我一般不用,一般都悲剧==
此处p＝c1cos2x+c2sin2x
然后用
公式III
得到
ρ=c1cos2x+c2sin2x+(1/2)[sin2x∫ cos2x4cot2x dx-cos2x∫ sin2x4cot2x dx]
=c1cos2x+c2sin2x+[2sin2x∫ cos^2 2x/sin2x -2cos2x ∫cos2x dx]
=c1cos2x+c2sin2x+[2sin2x∫ sin2x cos^2 2x/sin^2 2x -sin2xcos2x]
=c1cos2x+c2sin2x+[-sin2x∫ cos^2 2x d(cos2x)/(1-cos^2 2x)-sin2xcos2x]
=c1cos2x+c2sin2x+(1/2)sin(2x)ln[(1-cos(2x))/(1+cos(2x))]
所以再积次分
y=C1+c2cos2x+c3sin2x-(1/2)ln(2/(1+cos(2x)))+(1/4)ln(-1+2/(1+cos(2x)))(-1+2/(1+cos(2x)))(1+cos(2x))
最后的积分用换元t=cos2x
就等于积
(1/4)[ln(1-t)-ln(1+t)]dt
分部积分就好了