求微分方程x''+2x'+5x=4e^-t+17sin2t

Question

求微分方程x'' +2x'+5x = 4e^-t+17sin2t

Answer 1

∵齐次方程x''+2x'+5x=0的特征方程是r²+2r+5=0,则特征根是r=-1±2i
∴齐次方程的通解是x=[C1cos(2t)+C2sin(2t)]e^(-t)
设原方程的特解为 x=Ae^(-t)+Bcos(2t)+Csin(2t)
把它代入原方程整理,得4Ae^(-t)+(B+4C)cos(2t)+(C-4B)sin(2t)=4e^(-t)+17sin(2t)
比较等式两端相同项的系数,得4A=4,B+4C=0,C-4B=17
解次方程组得A=1,B=-4,C=1
∴原方程的特解为 x=e^(-t)-4cos(2t)+sin(2t)
故原方程的通解为 x=[C1cos(2t)+C2sin(2t)]e^(-t)+e^(-t)-4cos(2t)+sin(2t).