最大公因数,最小公倍数两个自然数的和是54,它们的最大公因数和最小公倍数的差是114,求这两个数

Question

最大公因数,最小公倍数
两个自然数的和是54,它们的最大公因数和最小公倍数的差是114,求这两个数

Answer 1

已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数.
设这两个自然数分别为a与b,a 因为a+b=54,所以da1+db1=54.
于是有d×(a1+b1)=54,因此,d是54的约数.
又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114,
所以da1b1-d=114,
于是有d×(a1b1-1)=114,
因此,d是114的约数.
故d为54与114的公约数.
由于(54,114)=6,6的约数有:1,2,3,6,根据定理3,d可能取1,2,3,6这四个值.
如果d=1,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=54;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=115.
115=1×115=5×23,但是1+115=116≠54,5+23=28≠54,所以d≠1.
如果d=2,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=27;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=58.
58=1×58=2×29,但是1+58=59≠27,2+29=31≠27,所以d≠2.
如果d=3,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=18;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=39.
39=1×39=3×13,但是1+39=40≠18,3+13=16≠18,所以d≠3.
如果d=6,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=9;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=20.
20表示成两个互质数的乘积有两种形式:20=1×20=4×5,虽然1+20=21≠9,但是有4+5=9,所以取d=6是合适的,并有a1=4,b1=5.
a=6×4=24,b=6×5=30.
答:这两个数为24和30.