请问这道概率题一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设

Question

请问这道概率题
一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立.
解法是 Xi={ 0 或 1} 等于0时第i 站没人下；等于1 时第i 站有人下
每一位旅客在某个车站下车的概率是0.1,不下车的概率是0.9；
20位旅客在某个车站都不下车的概率是(0.9)^20,
则在某个车站汽车停车的概率是 P(Xi=1) = 1-(0.9)^20,
EX=E(X1+X2+.+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(X10)=10*[1-(0.9)^20]≈8.8
我对解法有些疑惑.比如说到第三站时已经下了5人,此时车上还剩15人了,那么从第四站及以后的站 有人下车的概率依然是P(Xi=1) = 1-(0.9)^20 依然是20次幂?
如果题设情景、意思不变，将数目改小一些：车上载有3位旅客，在2个车站下车。以X表示停车的次数,求E(X)
（方法一） 笨方法计算 P(X=0) = 1/64 ; P(X=1) = 33/64 ; P(X=2) = 30/64 ;
E(X) = 33/64 + 60/64 = 93/64 = 1.453125
(方法二) 模仿原题：P(Xi=1) = 1-(1/2)^3 = 7/8
E(X)= 2*(7/8)= 14/8 = 1.75
哪里错了？

Answer 1

你问的问题和对立事件没有关系.而是把条件概率和非条件概率你混淆了.（第三站有人下车和第四站有人下车并非对立事件）.
在前三站已经下了5人的情况下（设这个概率是pr(5)）,第四站有人下车的概率是pl(5)=1-(0.9)^15,这是一个条件概率,但这个值不是P(Xi=1) .还要考虑前三站有k人下车（设概率为pr(k)）的情况,k=0,1,...,19,第四站有人下车的概率（设概率为pl(k)）,P(Xi=1)=∑pr(k)*pl(k).这样算就非常复杂.因为pr(k)很麻烦,如果算到地9个站时,已经非常冗长了.所以还一种思路.由于各个站的地位等同（这是一个前提）,所以在各个站都有旅客下车的概率相同,所以只须计算第一个站有人下车的概率即可,故P(Xi=1) = 1-(0.9)^20.
顺带纠正一下：第三站时已经下了5人的情况下,第四站及以后的站 有人下车的概率依然是1（因为所有人都会下车在终点站或之前的车站下车）
P(X=0) = 1/64不对.因为旅客总是要下车的.
P(X=1)=(1/2)^3*C(2,1)=1/4,
其它的类似.