在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，对角线AC被对角线BD平分，求证：这个四边形是平行四边形．

Question

在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，对角线AC被对角线BD平分，求证：这个四边形是平行四边形．

Answer 1

证明：设AC、BD交于点O，过的C作CE∥AB交BD于E，连接AE；如图所示：
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，∠ABE=∠BEC，
在△AOB和△COE中，

∠BAC=∠ACE	amp;
OA=OC	amp;
∠AOB=∠COE	amp;

，
∴△AOB≌△COE（ASA），
∴OB=OE，
在△AOE和△COB中，

OA=OC	amp;
∠AOE=∠COB	amp;
OE=OB	amp;

，
∴△AOE≌△COB（SAS），
∴∠AEO=∠CBO，
∴∠ABC=∠AEC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴D、E共点，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．