如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12

Question

如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=(1)/(2)∠AEB．
（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=(1)/(2)∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，

AD=BC

∠DAB=∠CBA

AB=BA

，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=(180°-∠AEB)/(2)=90°-(1)/(2)∠AEB，
∴∠ABD=90°-∠EAB=90°-（90°-(1)/(2)∠AEB）=(1)/(2)∠AEB，
同理：∠BAC=(1)/(2)∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=(1)/(2)∠AEB；
（2）仍然成立；
理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，

∠AGD=∠BFC

∠BCA=∠ADC

AD=BC

∴△AGD≌△BFC，
∴AG=BF，
在△ABG和△BAF中，

AB=BA

AG=BF

∴△ABG≌△BAF，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=(1)/(2)∠AEB．