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如图,过A(8,0)、B(0,83)两点的直线与直线y=3x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边
题目详情
如图,过A(8,0)、B(0,8
)两点的直线与直线y=
x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作
等边△DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线l的运动时间为t(秒).
(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)设直线l与x轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)设直线l与x轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设AB的解析式为y=kx+b,
把A(8,0)、B(0,8
)分别代入解析式得,
,
解得k=-
,
则函数解析式为y=-
x+8
.
将y=-
x+8
和y=
x组成方程组得,
,
解得
.
故得C(4,4
),
∴t的取值范围是:0≤t≤4.
(2)作EM⊥y轴于M,DG⊥y轴于点G,
∵D点的坐标是(t,−
t+8
),E的坐标是(t,
t)
∴DE=−
t+8
-
t=8
−2
t;
∴等边△DEF的DE边上的高为:sin60°•DE=
DE=12-3t;
根据E点的坐标(t,
t),以及∠MNE=60°,
故ME=t,MN=tan30°ME=
t,
同理可得:GH=
t,
∴可求梯形上底为:8
−2
t-
t,
∴当点F在BO边上时:12-3t=t,
∴t=3;
当0≤t<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形面积为:
S=
(8
−2
t+8
−2
t−
t)
=
(16
−
t)
=−
t2+8
t;
当3≤t≤4时,重叠部分为等边三角形
S=
(8
−2
t)(12−3t)
=3
t2−24
t+48
.
(3)存在,P(
,0);
说明:∵FO≥4
,FP≥4
,OP≤4,△DEF是等边三角形,
∴以P,O,F为顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,t=2(12-3t),
解得:t=
,
∴P(
,0).
把A(8,0)、B(0,8
3 |
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解得k=-
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则函数解析式为y=-
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3 |
将y=-
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解得
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故得C(4,4
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∴t的取值范围是:0≤t≤4.
(2)作EM⊥y轴于M,DG⊥y轴于点G,
∵D点的坐标是(t,−
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∴DE=−
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∴等边△DEF的DE边上的高为:sin60°•DE=
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2 |
根据E点的坐标(t,
3 |
故ME=t,MN=tan30°ME=
| ||
3 |
同理可得:GH=
| ||
3 |
∴可求梯形上底为:8
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3 |
2
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∴当点F在BO边上时:12-3t=t,
∴t=3;
当0≤t<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形面积为:
S=
t |
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=
t |
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=−
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当3≤t≤4时,重叠部分为等边三角形
S=
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=3
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(3)存在,P(
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说明:∵FO≥4
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∴以P,O,F为顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,t=2(12-3t),
解得:t=
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∴P(
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