如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y＝3x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边

Question

如图，过A（8，0）、B（0，8√(3)）两点的直线与直线y＝√(3)x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设AB的解析式为y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，8√(3)）分别代入解析式得，

8k+b＝0

b＝8√(3)

，
解得k=-√(3)，
则函数解析式为y=-√(3)x+8√(3)．
将y=-√(3)x+8√(3)和y=√(3)x组成方程组得，

y＝−√(3)x+8√(3)

y＝√(3)x

，
解得

x＝4

y＝4√(3)

．
故得C（4，4√(3)），
∴t的取值范围是：0≤t≤4．

（2）作EM⊥y轴于M，DG⊥y轴于点G，
∵D点的坐标是（t，−√(3)t+8√(3)），E的坐标是（t，√(3)t）
∴DE=−√(3)t+8√(3)-√(3)t=8√(3)−2√(3)t；
∴等边△DEF的DE边上的高为：sin60°•DE=(√(3))/(2)DE=12-3t；
根据E点的坐标（t，√(3)t），以及∠MNE=60°，
故ME=t，MN=tan30°ME=(√(3))/(3)t，
同理可得：GH=(√(3))/(3)t，
∴可求梯形上底为：8√(3)−2√(3)t-(2√(3))/(3)t，
∴当点F在BO边上时：12-3t=t，
∴t=3；
当0≤t＜3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形面积为：
S=(t)/(2)(8√(3)−2√(3)t+8√(3)−2√(3)t−(2√(3))/(3)t)
=(t)/(2)(16√(3)−(14)/(3)√(3)t)
=−(7)/(3)√(3)t2+8√(3)t；
当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形
S=(1)/(2)(8√(3)−2√(3)t)(12−3t)
=3√(3)t2−24√(3)t+48√(3)．

（3）存在，P（(24)/(7)，0）；
说明：∵FO≥4√(3)，FP≥4√(3)，OP≤4，△DEF是等边三角形，
∴以P，O，F为顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP，
若FO=FP时，t=2（12-3t），
解得：t=(24)/(7)，
∴P（(24)/(7)，0）．