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如图,过A(8,0)、B(0,83)两点的直线与直线y=3x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边

题目详情
如图,过A(8,0)、B(0,8
3
)两点的直线与直线y=
3
x交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线l的运动时间为t(秒).
(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)设直线l与x轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设AB的解析式为y=kx+b,
把A(8,0)、B(0,8
3
)分别代入解析式得,
8k+b=0
b=8
3

解得k=-
3

则函数解析式为y=-
3
x+8
3

将y=-
3
x+8
3
和y=
3
x组成方程组得,
y=−
3
x+8
3
y=
3
x

解得
x=4
y=4
3

故得C(4,4
3
),
∴t的取值范围是:0≤t≤4.

(2)作EM⊥y轴于M,DG⊥y轴于点G,
∵D点的坐标是(t,
3
t+8
3
),E的坐标是(t,
3
t)
∴DE=
3
t+8
3
-
3
t=8
3
−2
3
t;
∴等边△DEF的DE边上的高为:sin60°•DE=
3
2
DE=12-3t;
根据E点的坐标(t,
3
t),以及∠MNE=60°,
故ME=t,MN=tan30°ME=
3
3
t,
同理可得:GH=
3
3
t,
∴可求梯形上底为:8
3
−2
3
t-
2
3
3
t,
∴当点F在BO边上时:12-3t=t,
∴t=3;
当0≤t<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形面积为:
S=
t
2
(8
3
−2
3
t+8
3
−2
3
t−
2
3
3
t)
=
t
2
(16
3
14
3
3
t)
=
7
3
3
t2+8
3
t;
当3≤t≤4时,重叠部分为等边三角形
S=
1
2
(8
3
−2
3
t)(12−3t)
=3
3
t2−24
3
t+48
3


(3)存在,P(
24
7
,0);
说明:∵FO≥4
3
,FP≥4
3
,OP≤4,△DEF是等边三角形,
∴以P,O,F为顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,t=2(12-3t),
解得:t=
24
7

∴P(
24
7
,0).
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