如图1,已知A（0,4）,B（4,0）,点C为y轴上一点,AD⊥BC于D,且角DAC=½∠OAB.（1）求AD/BC的值；（2）连OD,求证∠ODB=45°；（3）如图2,将一直三角板EFG的直角顶点E放在AB的中点处,EF交OA于M,EG交OB于N,作M

Question

如图1,已知A（0,4）,B（4,0）,点C为y轴上一点,AD⊥BC于D,且角DAC=½∠OAB.（1）求AD/BC的值；
（2）连OD,求证∠ODB=45°；（3）如图2,将一直三角板EFG的直角顶点E放在AB的中点处,EF交OA于M,EG交OB于N,作MP⊥AB于P ,NQ⊥AB于Q,旋转三角板,问：MP+NQ的值是否发生变化?请说明理由

Answer 1

(1)AD:BC=1:2,理由如下：
延长AD交x轴于E,易证△AOE≌△BOC,于是AE=BC,∵∠DAC=1/2∠OAB=22.5°
∴∠OBC=22.5°
∴∠ABC=∠ABO-∠OBC=22.5°=∠OBC
可证△ABD≌△EBD,
于是AD=DE=1/2AE=1/2BC
∴AD/BC=1/2
（2）延长AD交X轴于E.
∠DAC=(1/2)∠OAB=22.5°.
∠ACD=∠BCO;
∠ADC=∠BOC=90°
.则∠OBC=∠DAC=22.5°
.故∠ABD=∠ABO-∠OBC=22.5°=∠OBC.
又BD=BD,∠ADB=∠EDB=90°,
则⊿ADB≌⊿EDB(ASA)
,AD=ED.
故DO=AE/2=AD,
∠DOA=∠DAC=22.5°,
得∠EDO=∠DAC+∠DOA=45°.
所以,∠ODB=∠EDB-∠EDO=45°