如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=2时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边

Question

如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=2时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的范围．

Answer 1

（1）如图（1），

∵OD⊥BC，
∴BD＝(1)/(2)BC=(1)/(2)×2=1．
∵∠BDO=90°，OB=3，BD=1，
∴OD＝√(OB2−BD2)＝2√(2)，
即线段OD的长为2√(2)．

（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），

∵∠AOB=90°，OA=OB=3，
∴AB＝√(OB2+OA2)＝3√(2)
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=(1)/(2)AB＝(3)/(2)√(2)，
∴DE保持不变．               

（3）过D作DF⊥OE于F，连接OC，如图（3）．

∵∠BDO=90°，BD=x，OB=3，
∴OD=√(9−x2)，
∵OB=OC=OA，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=(1)/(2)∠AOB=45°，即∠DOE=45°．
在Rt△DFO中，
∵∠DOF=45°，OD=√(9−x2)，
∴DF=OD•sin45°=(√(18−2x2))/(2)，
OF=OD•cos45°=(√(18−2x2))/(2)，
在Rt△DEF中，
∵DE=(3)/(2)√(2)，DF=(√(18−2x2))/(2)，
∴EF=√(DE2−DF2)=(√(2))/(2)x，
∴OE=OF+EF=(√(18−2x2))/(2)+(√(2))/(2)x，
∴y=(1)/(2)DF•OE=(1)/(2)((√(18−2x2))/(2))((√(18−2x2))/(2)+(√(2))/(2)x)=(9−x2+x√(9−x2))/(4) （0＜x＜(3)/(2)√(2)）．