如图，C为⊙O上一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F，AD=CD=5，⊙O的半径为10．（1）求证：AC＝CE；（2）求DF的长；（3）求tan∠ECB．

Question

如图，C为⊙O上一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F，AD=CD=5，⊙O的半径为10．
（1）求证：

AC

＝

CE

；
（2）求DF的长；
（3）求tan∠ECB．

Answer 1

（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠B+∠PCB=90°，
∴∠ACP=∠B，
∴∠ACP=∠CAE，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠CEA，
∴

AC

=

CE

；

（2）∵∠ACB=90°，∠ACP=∠CAD，
∴∠ACP+∠FCD=90°，∠CAD+∠CFD=90°，
∴∠FCD=∠CFD，
∴CD=DF，
∴DF=5；

（3）由（1）∠CAF=∠B，∠ACF=∠ACB，
∴△AFC∽△BAC，
∴(CA)/(CB)=(AF)/(AB)=(AD+DF)/(20)=(10)/(20)=(1)/(2)，
设AC=k，则BC=2k，在Rt△ACB中
AC²+BC²=AB²，
∴k²+（2k）²=20²，
解得：k=4√(5)，
由∠APC=∠ACB=90°，∠CAP=∠CAB，
∴△APC∽△ACB，
∴(AC)/(AB)=(AP)/(AC)，
∴AC²=AB•AP，
∴（4√(5)）²=20AP，
∴AP=4，
在Rt△APC中，AC²=AP²+PC²，
∴PC=√(AC2−AP2)=√(80−16)=8，
∴DP=PC-CD=8-5=3，
∴tan∠DAP=(DP)/(AP)=(3)/(4)，
∵∠ECB=∠D