如图1，已知tan∠MON=2，点P是∠MON内一点，PC⊥OM，垂足为点C，PC=2，OC=6，A是OC延长线上一点，连接AP并延长与射线ON交于点B．（1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断△AOB的形状，并说明理

Question

如图1，已知tan∠MON=2，点P是∠MON内一点，PC⊥OM，垂足为点C，PC=2，OC=6，A是OC延长线上一点，连接AP并延长与射线ON交于点B．
（1）当点P恰好是线段AB的中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）当CA的长度为多少时，△AOB是等腰三角形；
（3）设(AP)/(AB)＝k，是否存在适当的k，使得(S△APC)/(S四边形OBPC)＝k？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）△AOB为直角三角形．理由如下：
过点B作BE⊥OM，垂足为点E，如图，
∵PC⊥OM，
∴BE∥PC，
∵点P是线段AB的中点，PC=2，
∴BE=4，
又∵tan∠MON=2，tan∠MON=(BE)/(OE)=2，
∴OE=2，
∵OC=6，
∴EC=CA=4
∴Rt△OBE≌Rt△PAC，
∴∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，
而∠CPA=∠EBA，
∴∠OBE+∠EBA=90°，
∴△OBA为直角三角形；

（2）设OE=a，则BE=2a，OB=√(5)a
∵PC∥BE，
∴(PC)/(BE)＝(AC)/(AE)，
设CA=x，则(2)/(2a)=(x)/(x+6−a)，
∴a=(x+6)/(x+1)，
∴OA=6+x，OB=(x+6)/(x+1)√(5)，
①若OA=OB，即x+6=(x+6)/(x+1)•√(5)
解得x=√(5)-1；
②若AO=AB，即x+6＝√(4a2+(x+6−a)2)
解得x＝(3)/(2)；
③若OB=AB时，OE=EA，
∴a＝(1)/(2)(x+6)，解得x=1；
综上，当CA的值分别为√(5)−1、(3)/(2)、1时，△AOB是等腰三角形．

（3）存在．理由如下：
同（2）设CA=x，OE=a，
∵S_△APC=(1)/(2)•x•2=x，S_△ABO=(1)/(2)•2a•（x+6）=（x+6）a，
由(AP)/(AB)＝k，得(AP)/(AB)=(PC)/(BE)=(2)/(2a)，
∴k＝(1)/(a)，
∵(S△APC)/(S四边形OBPC)＝k，
∴(x)/((x+6)a−x)＝(1)/(a)，
∴x=6a，
而a=(x+6)/(x+1)，
∴6•(x+6)/(x+1)=x，
解得x₁=9，x₂=-4（舍去），
∴k＝(1)/(a)＝(x+1)/(x+6)＝(2)/(3)．