用长为1,4,4,5的四条线段作成一个梯形,求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度

Question

用长为1,4,4,5的四条线段作成一个梯形,求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度

Answer 1

设梯形ABCD中,AD//BC（AD＜BC）
过D作DE//AB交BC于E,则ABED是平行四边形
根据△CDE存在的条件知,1、4、4、5中,1只能作为上底,否则不能构成梯形
这样有两种情况：
1）
AD＝1,BC＝5,AB＝CD＝4,梯形ABCD是等腰梯形
此时DE＝AB＝CD＝4,EC＝BC－BE＝BC－AD＝4
所以△CDE是一个边长为4的等边三角形
作DF⊥BC,则CF＝CD/2＝2,DF＝√3CF＝2√3
所以S梯形ABCD
＝(AD＋BC)*DF/2
＝6√3
≈10.3923
2）
AD＝1,BC＝4,AB＝4,CD＝5,
此时DE＝AB＝4,EC＝BC－BE＝BC－AD＝3
所以△CDE是一个边长为3、4、5的直角三角形
所以梯形ABCD是一个直角梯形
所以S梯形ABCD
＝(AD＋BC)*AB/2
＝10
综合1）、2）知
情形2）的梯形是面积最小的梯形
所以根据勾股定理可求出对角线长度为：
AC＝√(AB^2＋BC^2)＝4√2
BD＝√(AB^2＋AD^2)＝√17