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设x、y、z为正数,x^2+y^2+z^2=1,求S=xy/z+yz/x+zx/y的最小值.
题目详情
设x、y、z为正数,x^2+y^2+z^2=1,求S=xy/z+yz/x+zx/y的最小值.
▼优质解答
答案和解析
利用不等式：
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ac,取等号的条件是a=b=c
先对S取平方：
S^2=[(xy/z)^2 + (yz/x)^2 + (xz/y)^2] + 2*(x^2+y^2+z^2)
≥[(xy/z)*(yz/x) + (xy/z)*(xz/y) +(yz/x)*(xz/y)] +2
=(x^2+y^2+z^2)+2
=3
因此 ssqrt≥(3)
取等号的条件是(xy/z) = (yz/x) = (xz/y)
x = y = z = sqrt(3)/3
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ac,取等号的条件是a=b=c
先对S取平方：
S^2=[(xy/z)^2 + (yz/x)^2 + (xz/y)^2] + 2*(x^2+y^2+z^2)
≥[(xy/z)*(yz/x) + (xy/z)*(xz/y) +(yz/x)*(xz/y)] +2
=(x^2+y^2+z^2)+2
=3
因此 ssqrt≥(3)
取等号的条件是(xy/z) = (yz/x) = (xz/y)
x = y = z = sqrt(3)/3
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