函数f{x}=4∧x-2∧x+1+3的定义域为-1/2,1/2,设t=2∧x,求t得取值范围,求f{x}的定义域

Question

函数f{x}=4∧x-2∧x+1+3的定义域为【-1/2,1/2】,设t=2∧x,求t得取值范围,求f{x}的定义域

Answer 1

f(x)=4^x - 2^(x+1) + 3 =(2^x)^2 -2 * 2^x +1 +2 = [(2^x)-1]^2 + 2的定义域为[-1/2,1/2]
因为：t=2^x 是定义域中的增函数
所以：当x=-1/2时,t取得最小值为(√2)/2
当x=1/2时,t取得最大值为√2
所以：f(t)=(t-1)^2 +2
所以：f(t)的对称轴为t=1
当t=1时,f(t)取得最小值为2
当t=(√2)/2时,f(t)的值为7/2 - √2
当t=√2时,f(t)的值为5-2√2
所以：当t=√2时,f(t)取得最大值.
所以：f(x)=4^x - 2^(x+1) + 3 =(2^x)^2 -2 * 2^x +1 +2 = [(2^x)-1]^2 + 2在[-1/2,0]上为减函数,在[0,1/2]上为增函数
所以：当x=0,即：t=1时f(x)取得最小值为2
当x=1/2,即：t=√2时,f(x)取得最大值5-2√2
所以：f(x)的值域为[2,5-2√2]