已知函数f(x,y)在原点的某个邻域内连续,且lim(x,y)→(0,0)[f(x,y)-xy]/[(x^2+y^2)^2]=1.判断原点是不是极点,

Question

已知函数f(x,y)在原点的某个邻域内连续,且lim(x,y)→(0,0) [f(x,y)-xy]/[(x^2+y^2)^2]=1.判断原点是不是极点,

Answer 1

直观上,条件说明f(x,y)在原点和xy很接近.
但是原点只是xy的鞍点,于是原点也不是f(x,y)的极值点.
严格写下来是这样:
∵lim{(x,y) → (0,0)} (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² = 1,
∴对ε = 1,存在δ > 0,使得当|x| < δ,|y| < δ时,有0 = 1-ε < (f(x,y)-xy)/(x²+y²)² < 1+ε = 2.
即xy < f(x,y) < xy+2(x²+y²)² ①.
又由f(x,y)在原点连续,可得f(0,0) = lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y) = 0.
考虑点列(1/n,1/n),易见n → ∞时(1/n,1/n) → (0,0).
当n > 1/δ时,有1/n < δ,代入①的左端得f(1/n,1/n) > 1/n² > 0.
因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取正值的点.
再考虑点列(1/n,-1/n),易见n → ∞时(1/n,-1/n) → (0,0).
当n > 1/δ且n > 3时,有1/n < δ,代入①的右端得f(1/n,-1/n) < -1/n²+8/n⁴ = (8-n²)/n⁴ < 0.
因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取负值的点.
于是原点不为极值点.