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如图,已知AB=12,点C、D在AB上,且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,连接EF,取EF的中点G,则下列说法中正确的有(
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如图,已知AB=12,点C、D在AB上,且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,连接EF,取EF的中点G,则下列说法中正确的有( )
①△EFP的外接圆的圆心为点G;②△EFP的外接圆与AB相切;
③四边形AEFB的面积不变;④EF的中点G移动的路径长为4.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
①△EFP的外接圆的圆心为点G;②△EFP的外接圆与AB相切;
③四边形AEFB的面积不变;④EF的中点G移动的路径长为4.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
▼优质解答
答案和解析
如图,分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,
∴∠A=∠FPB=45°,∠B=∠EPA=45°,
∴AH∥PF,BH∥PE,∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°,
∴四边形EPFH为平行四边形,
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点,
∴G也为PH中点,
即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12-2-2=8,
∴MN=4,即G的移动路径长为4.
故④EF的中点G移动的路径长为4,正确;
∵G为EF的中点,∠EPF=90°,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G,正确.
∴①④正确.
连接PG,
∵PG≠PF,
∴△EFP的外接圆与AB相交,故②错误;
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),
∴AP不断增大,
∴四边形的面积随之变化,故③错误.
故选B.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,
∴∠A=∠FPB=45°,∠B=∠EPA=45°,
∴AH∥PF,BH∥PE,∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°,
∴四边形EPFH为平行四边形,
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点,
∴G也为PH中点,
即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12-2-2=8,
∴MN=4,即G的移动路径长为4.
故④EF的中点G移动的路径长为4,正确;
∵G为EF的中点,∠EPF=90°,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G,正确.
∴①④正确.
连接PG,
∵PG≠PF,
∴△EFP的外接圆与AB相交,故②错误;
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),
∴AP不断增大,
∴四边形的面积随之变化,故③错误.
故选B.
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