已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；（2）①如图二，在点P运动

Question

已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC=(1)/(2)？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图一中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，(PM)/(PC)=(AM)/(BC)=(PA)/(PB)，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴(PA)/(PB)=(AN)/(BC)，
∴(AN)/(AB)=(AM)/(BC)，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
（2） ①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．
理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，(PM)/(PC)=(AM)/(BC)=(PA)/(PB)，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴(PA)/(PB)=(AN)/(BC)，
∴(AN)/(AB)=(AM)/(BC)，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
②这样的点P不存在．
理由：假设PC=(1)/(2)，
如图三中，以点C为圆心(1)/(2)为半径画圆，以AB为直径画圆，
CO=√(BC2+BO2)=(√(5))/(2)>(1)/(2)+(1)/(2)，
∴两个圆外离，∴∠APB<90°，这与AP⊥PB矛盾，
∴假设不可能成立，
∴满足PC=(1)/(2)的点P不存在．