（2014•崇明县二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：AD2=DG•BD；（2）联结CG，求证：∠ECB=∠DCG．

Question

（2014•崇明县二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：AD²=DG•BD；
（2）联结CG，求证：∠ECB=∠DCG．

Answer 1

（1）∵AB=AC，AD=(1)/(2)AC，AE=(1)/(2)AB，
∴AD=AE，
在△BAD和△CAE中，

AB＝AC

∠BAD＝∠CAE

AD＝AE

，
∴△BAD≌△CAE．
∴∠ABD=∠ACE，
∵DF⊥AC，AD=CD，
∴AF=CF，
∴∠GAD=∠ACE，
∴∠GAD=∠ABD．
∵∠GDA=∠ADB，
∴△GDA∽△ADB．
∴(AD)/(DB)=(DG)/(AD)，
∴AD²=DG•BD．

（2）∵(AD)/(DB)=(DG)/(AD)，AD=CD，
∴(CD)/(DB)=(DG)/(CD)．
∵∠CDG=∠BDC，
∴△DCG∽△DBC．
∴∠DBC=∠DCG．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ECB=∠DBC=∠DCG，
∴∠ECB=∠DCG．