在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且（ab-1）2+（a-b）2=01）试判断△ABC的形状；（2）如图,作△ABC的角平分线AD,若AC+CD=AB,求S△ABC；（3）在（2）的条件下,点M为AD上一点,且AM=CM,延长AD

Question

在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且（ab-1）2+（a-b）2=0
1）试判断△ABC的形状；
（2）如图,作△ABC的角平分线AD,若AC+CD=AB,求S△ABC；
（3）在（2）的条件下,点M为AD上一点,且AM=CM,延长AD至E,使∠DCE=∠ACM,求证：AD=2CE.

Answer 1

1、（ab-1)²+（a-b²=0
ab-1=0 ab=1
a-b=0
a=b=1
所以△ABC是等腰三角形
2、在AB上截取AF=AC,连接DF
∵AD平分△BAC
∴∠FAD(∠BAC)=∠DAC
∵AD=AD
AC=AF
∴△ADF≌∠ACD
∴∠C=∠AFD
CD=DF
∵AC+CD=AB
AF+BF=AB
∴BF=CD=DF
∴△BDF是等腰三角形
∴∠B=∠BDF
∵a(BC)=b(AC)=1(第一问中证明的结论）
∴∠BAC=∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
∠AFD=∠B+∠BDF=2∠B
∴2∠B+∠C=∠AFD+∠C=2∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴S△ABC=1/2BC×AC=1/2a×b=1/2×1×1=1/2
3、∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC=22.5°
∵AM=CM
∴∠ACM=∠DAC=22.5°
∴∠DMC=∠ACM+∠DAC=45°
∵∠DCE=∠ACM
∠BCM+∠ACM=∠ACB=90°
∴∠ECM=90°
∴∠MEC=∠ECM-∠DMC=90°-45°=45°
∴△MCE是等腰直角三角形
∴CE=CM
在Rt△ABC中
∠MDC(ADC)=90°-∠DAC=90°-22.5°=67.5°
∠DCM=∠ACB-∠ACM=90°-22.5°=67.5°
∴∠MDC=∠DCM
∴DM=CM=AM
∴CM=1/2AD
∴CE=CM=1/2AD
即AD=2CE