设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证：（1）若｜A｜=0,则｜A*｜=0;(2)|A*|＝|A|^(n-1)

Question

设n阶矩阵A 的伴随矩阵为A*,证：（1）若｜A｜=0,则｜A*｜=0;(2)|A *|＝|A |^(n -1)

Answer 1

(1）反证法,如果｜A*｜不等于零,则A*是可逆的,设B是A*的逆,由AA*=|A|E,两边右乘A*的逆B,则得AA*B=|A|EB,A=|A|B,此时A是零矩阵,如果A是零矩阵,它的伴随矩阵A*也应为零矩阵,矛盾.
(2)AA*=|A|E,(E为单位矩阵),对两边同取行列式,则有
|AA*|=||A|E|=|A|^n|E|=|A|^n
即|A||A*|=|A|^n,
|A||A*|-|A|^n=0,
|A|(|A*|-|A|^(n-1))=0,如果|A|不等于零,则
A*|-|A|^(n-1)=0,|A *|＝|A|^(n-1)
如果｜A｜=0,则｜A*｜=0,|A *|＝|A|^(n-1)也成立.