[急]数学题,大概和图论有关平面上n个点,任三点不共线,红蓝任意染色,求n的最小值,使得总有两个不相交的同色三角形存在?

Question

[急]数学题,大概和图论有关
平面上n个点,任三点不共线,红蓝任意染色,求n的最小值,使得总有两个不相交的同色三角形存在?

Answer 1

n>=8
用反证法证明K8中一定有符合的两个三角形
证：设有一个二染色体的K8,其中不存在满足要求的两个三角形
由于,二染色K8中必有单色三角形,不妨设△A1A2A3是蓝色三角形,考察以{A3,A4,A5,A6,A7,A8}为顶点的完全子图K6,由假设知其中不能有蓝色三角形,故必有红三角形,不妨设这个红三角形与△A1A2A3有一个公共顶点,若不然,则二者顶点间的9条连线中必有5条同色,设有5条红色,于是A1,A2,A3中至少有1点向红三角形引出两条红线,从而得到与蓝三角形△A1A2A3有一个公共顶点的红三角形,设红三角形是△A3A4A5.
考察以{A2,A4,A6,A7,A8}为顶点的二染色的K5,由反证法假设知其中没有单色三角形,从而它可分解一红一蓝各有5条边的圈（图略）
考察{A1,A2,A4,A6,A7,A8}为顶点的二染色的K6,由反证法假设知其中不能有红三角形,故其中有两个蓝三角形且均与蓝△A1A2A3有一条公共边,当然只能是A1A2,由此可知,A1A4,A1A6为蓝边
再考察以{A2,A4,A5,A6,A7,A8}为顶点的二染色的K6类似地可得出A5A6,A5A7为红边,最后考察A3A6,若它为蓝边,则△A2A3A6和
△A2A1A4为两个蓝三角形满足要求,矛盾：若A3A6为红边,则△A3A4A6和△A4A5A7为满足要求的两个红三角形,矛盾.从而证明了二染色的K8中必有两个满足题中要求的三角形.
综上可知,所求的最小正整数n=8.
写了这么多,不加分怎么对得我住~